PKUWC2018-随机游走

传送门

题意

给定一个有根树,qq次询问,每次询问给定树上点的一个集合SS,求从根出发随机游走(根视为已经经过),经过SS的所有点需要的期望次数,模998244353

1n18,1q50001 \leq n \leq 18,1 \leq q \leq 5000


Solution

题目要求东西即为(EiE_i为从根游走到ii的期望次数)

maxiSEi\max_{i \in S}E_i

根据Min-Max 容斥,可以转换成

maxiSEi=TS(1)T1×miniTEi\max_{i \in S}E_i=\sum_{T \in S} (-1)^{|T|-1} \times \min_{i \in T} E_i

(1)T1×miniTEi(-1)^{|T|-1} \times \min_{i \in T} E_ifif_i,表示从根出发经过TT至少一个点的期望,暂时记fif_i为后半部分(miniTEi\min_{i \in T} E_i)

有一个naive的做法是列方程解,但复杂度为O(n32n)O(n^32^n),无法接受

考虑用树上消元

可以认定fif_iffaif_{fa_i}有关系,这里记fi=Ai×ffai+Bif_i=A_i \times f_{fa_i}+B_i,于是得到:

fi={Bi,rootAi×ffai+Bi,leaf1+1degi(ffai+ksoni(Ak×fi+Bk)),otherf_i=\left\{ \begin{aligned} &B_i,root \\ &A_i \times f_{fa_i}+B_i,leaf \\ &1+\frac{1}{deg_i}(f_{fa_i}+\sum_{k \in son_i}(A_k\times f_i+B_k)),other \end{aligned} \right.

化简得到

Ai=1degiksoniAk,Bi=ksoniBk+degidegiksoniAkA_i=\frac{1}{deg_i-\sum_{k \in son_i}A_k},B_i=\frac{\sum_{k \in son_i}B_k+deg_i}{deg_i-\sum_{k \in son_i}A_k}

于是一遍树形dp即可解出A,BA,B,同时froot=Brootf_{root}=B_{root},复杂度变为O(n2n)O(n2^n)

回到原问题:

maxiSEi=TS(1)T1×miniTEi\max_{i \in S}E_i=\sum_{T \in S} (-1)^{|T|-1} \times \min_{i \in T} E_i

(1)T1(-1)^{|T|-1}加到fTf_T

maxiSEi=TSfT\max_{i \in S}E_i=\sum_{T \in S} f_T

SOS DPFWT等等实现均可

code
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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mxn=20;
typedef long long ll;
const ll p=998244353;
int count(int x);
ll qpow(ll a,ll b);
void SOSpre();

int n,q,x;
struct edg{
int v,next;
}edge[mxn<<1]; int head[mxn<<1],cnt;
void addedge(int u,int v)
{
edge[++cnt]=edg{v,head[u]};
head[u]=cnt;
edge[++cnt]=edg{u,head[v]};
head[v]=cnt;
}
ll f[1<<mxn],A[mxn],B[mxn];
ll g[1<<mxn];
int U;

void dfs(int u,int fa,int S)
{
if(S>>(u-1)&1) return;
ll inv=0,suma=0,sumb=0,deg=0;
for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
{
int to=edge[i].v;
deg++;
if(to==fa) continue;
dfs(to,u,S);
suma+=A[to]; sumb+=B[to];
}
inv=qpow(deg-suma,p-2)%p;
A[u]=inv; B[u]=(sumb+deg)%p*inv%p;
}

int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&q,&x);
U=(1<<n);
for(int i=1,a1,a2;i<n;i++)
{
scanf("%d%d",&a1,&a2);
addedge(a1,a2);
}
for(int s=1;s<U;s++)
{
memset(A,0,sizeof(A));
memset(B,0,sizeof(B));
dfs(x,0,s);
if(count(s)%2==0) B[x]=(-B[x]%p+p)%p;
f[s]=B[x];
}
SOSpre();
while(q--)
{
int k,a1,ans=0;
scanf("%d",&k);
for(int i=1;i<=k;i++)
{
scanf("%d",&a1);
ans=ans|(1<<(a1-1));
}
printf("%lld\n",g[ans]%p);
}
}

void SOSpre()
{
for(int i=0;i<U;i++) g[i]=f[i];
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<U;j++)
{
if(j>>i&1)
{
g[j]+=g[j^(1<<i)];
g[j]=(g[j]%p+p)%p;
}
}
}
}

ll qpow(ll a,ll b)
{
ll ans=1,base=a;
while(b>0)
{
if(b&1) ans=ans*base%p;
base=base*base%p;
b>>=1;
}
return ans;
}

int count(int x)
{
int ans=0;
for(int i=0;i<n;i++) ans=ans+(x>>i&1);
return ans;
}
Author: cjh-hhz
Link: https://cjh-hhz.github.io/948af4c2d15a.html/
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